Note di Logica Matematica n.1

Claudia Malvenuto e Roberto Maieli^{∗} Canale E-O - a.a 2002-2003

23 novembre 2005

1 Logica e ragionamento

La logica non studia i meccanismi del ragionamento in senso generale, bensìil concetto di dimostrazione logica. Tale studio viene condotto attraverso l’analisi delle regole di inferenza, le regole cioè che applichiamo quando concateniamo (correttamente) proposizioni che sono ritenute essere vere o false. Una inferenza è una qualsiasi sequenza finita di proposizioni dove l’ultima proposizione è ottenuta come conclusione dalle rimanenti, assunte come premesse. Il procedimento che fa passare dalle premesse all conclusione prende il nome di regola di inferenza. Una regola di inferenza è elementare quando tale procedimento consta di un solo passo, ovvero quando da una o più premesse si passa in un solo passo alla conclusione senza passare per conclusioni intermedie. La logica studia le inferenze elementari corrette, e mostra come ridurre a quelle elementari anche le inferenze più complesse.

Definizione 1 Per proposizione si intende una qualsiasi espressione linguistica per la quale abbia senso chiedersi quando è vera o falsa. Nella logica classica una proposizione può assumere uno ed uno solo dei due valori di verità:

• vero, indicato anche con V (oppure 1);

• falso, indicato anche con F (oppure 0).

Le proposizioni sono usualmente espresse dagli enunciati dichiarativi del linguaggio naturale, quali ad esempio

“5 è un numero primo” “2 è dispari” “tutti gli uomini sono mortali” “Anna studia logica”

In genere indicheremo le proposizioni con lettere maiuscole (eventualmente con pedici) A, B, C, P_{1}, ...P_{n}, ....

Il concetto centrale in logica è la relazione di conseguenza logica fra proposizioni:

Definizione 2 (conseguenza logica) Una proposizione P è conseguenza logica delle (o segue logicamente dalle) proposizioni P_{1}, ..., P_{n} se e solo se non si dà mai il caso che le proposizioni P_{1}, ..., P_{n} siano vere e la conclusione falsa o, equivalentemente, se e solo se tutte le volte che le premesse P_{1}, ..., P_{n} sono vere allora sarà vera anche la conclusione.

Definizione 3 (inferenza corretta) Una inferenza

{P_{1} ... P_{n} \atop P}

è corretta se e solo se la conclusione è conseguenza logica delle premesse.

La logica studia le inferenze corrette. Sia A la proposizione ”5 è un numero primo” e B la proposizione “4 è un numero primo”, allora l’inferenza

A oppure B  non B
A

∗Dipartimento di Informatica, Università di Roma “La Sapienza”, Via Salaria, 113. E-mail: claudia, maieli@dsi.uniroma1.it.

è un’inferenza corretta. Infatti le due premesse “A oppure B” e “ non B” sono entrambe vere e la conclusione ”A” è anch’essa vera. In generale occorre fare attenzione al fatto seguente: in una regola corretta se le premesse sono tutte vere allora la conclusione è vera; se però almeno una delle premesse è falsa allora la conclusione può essere anch’essa falsa. In altre parole la correttezza di una inferenza non è legata alla verità o falsità della conclusione. La conclusione della regola può essere conseguenza logica delle premesse anche se falsa. Ad esempio la seguente inferenza è corretta anche se la conclusione “3 è pari” è falsa (si noti che la premessa “3 non è primo” è falsa):

“3 è pari oppure 3 è primo”  “3 non è primo”

“3 è pari”

Consideriamo l’inferenza :

“se sono colpevole devo essere punito”  “non sono colpevole”
R_{1}

“non devo essere punito”

a prima vista R_{1} sembra un ragionamento del tutto convincente: tuttavia dal punto di vista logico l’inferenza non è corretta. Per convincerci di questo fatto, manteniamo la stessa struttura logica dell’inferenza precedente e consideriamo una istanza analoga:

“se Roberto è romano allora è italiano”  “Roberto non è romano”
R_{1}

“Roberto non è italiano”

La premessa “se Roberto è romano allora Roberto è italiano” è senz’altro vera perché tutti i romani sono italiani, ma se Roberto è nato a Catania allora anche la seconda premessa è vera mentre la conclusione è falsa. In generale per scoprire se un’inferenza non è corretta si cerca un controesempio, ossia una instanza o applicazione della regola in cui le premesse sono vere e la conclusione falsa. Consideriamo le due inferenze R_{1}, R_{2}:

“se manca la benzina la moto non parte”  “manca la benzina”
R_{2}

“la moto non parte”

“se manca la benzina allora la moto non parte”  “la moto non parte”
R_{3}

“manca la benzina”

L’inferenza R_{2} è corretta ed è detta modus ponens, mentre l’inferenza R_{3} non è corretta ed è chiamata fallacia dell’affermazione del conseguente. Analogamente, la regola R_{1} vista sopra non è corretta ed è chiamata fallacia della negazione dell’antecedente. Occorre, comunque, fare molta attenzione con le espressioni del linguaggio ordinario e non farsi trarre in inganno dal significato delle proposizioni. Se osserviamo l’inferenza di sopra R_{2} essa, oltre ad essere corretta, sembra del tutto convincente perché stabilisce un nesso di causa-effetto. Questo nesso di causa-effetto è estraneo alla logica. Consideriamo l’inferenza:

“se 5 è un cavallo, allora il Sole è un panettone”  “5 è un cavallo”
R_{2}

“il Sole è un panettone”

Questa regola stravagante è corretta, essendo una istanza del modus ponens: infatti la conclusione bizzarra segue logicamente dalle premesse. Non appena si assume che da una proposizione ne segue un’altra (“se 5 è un cavallo, allora il Sole è un panettone”) e vale la prima (“5 è un cavallo”) allora si può dedurre correttamente la seconda (“il Sole è un panettone”). Queste ragioni inducono chi voglia affrontare uno studio rigoroso, non equivoco, delle regole logiche ad abbandonare il linguaggio ordinario (può trarre in inganno!) Il processo di astrazione dal linguaggio ordinario è un processo logico. Per concludere, la logica si occupa delle inferenze elementari corrette che hanno come premesse e conclusione enunciati logici. Tali inferenze prendono anche il nome di regole logiche. Le regole logiche sono il motore delle dimostrazioni logiche.

1.1 Esercizi

Esercizio 1 Quali tra le seguenti inferenze sono corrette?

1. :

“se c’è fumo allora c’è arrosto”  “non c’è fumo”

“non c’è arrosto”

2. :

“se c’è fumo allora c’è arrosto”  “non c’è arrosto”

“non c’è fumo”

3. :

“se Marco beve vino, allora si ubriaca”  “Marco non si ubriaca”

“Marco non beve vino”

4. :

“se Marco beve vino, allora si ubriaca”  “Marco non beve vino”

“Marco non si ubriaca”

5. :

“se Marco non ha il passaporto, allora non va in Russia”  “Marco va in Russia”

“Marco ha il passaporto”

6. :

“se Marco non ha il passaporto, allora non va in Russia”  “Marco ha il passaporto”

“Marco va in Russia”

7. :

“Se Aldo ha la febbre allora non esce di casa”  “Aldo non ha la febbre”

“Aldo esce di casa”

8. :

“Se Aldo ha la febbre allora non esce di casa”  “Aldo esce di casa”

“Aldo non ha la febbre”

9. :

“Se Aldo ha vinto, allora Mario ha perso”  “Se Mario ha perso allora Giulio ha vinto”

“Se Aldo ha vinto allora Giulio ha vinto”

10. : “Se Anna è ligure allora Chiara p̀iemontese” “Anna non è ligure o Chiara non è piemontese”

11. :

“Se Anna è ligure allora Chiara p̀iemontese” “Anna è ligure e Chiara è piemontese”

12. :

“Anna è ligure e Chiara è piemontese” “Se Anna è ligure, allora Chiara è piemontese”

Esercizio 2 Supponiamo di avere a diposizione dei cartoncini. Sappiamo che ogni cartoncino reca su una faccia una lettera dell’alfabeto italiano e sull’altra un numero 1, 2, 3, … Si considerino quattro cartoncini messi in fila come nella figura 1. Qual è il minimo numero di cartoncini che occorre girare, tra quelli dati in figura 1, per verificare l’enunciato: “se sulla faccia di un cartoncino c’è una vocale, allora sull’altra faccia c’è un numero dispari”? E il numero minimo di cartoncini da girare per verificare lo stesso enunciato, nel caso in cui siano disposti come in figura 2?

A  B  7  8

Figura 1:

C  4  1  U  L  10

Figura 2: