LOGICA MATEMATICA

Claudia Malvenuto Canale E-O Scheda esercizi n. 1

5 ottobre 2005

La polis è più importante delle sue parti. La parte è più importante d’ogni sua parte. Il predicato lo è più del predicante e l’arrestato lo è meno dell’arrestante. [...] (Gerarchie, di Eugenio Montale, in ’Satura I’)

1. Verificare che i seguenti insiemi sono uguali a coppie:

(a) A = {1, 2, 3} e B = {3, 1, 2};

(b) A = {a, b, c, a} e B = {a, b, c};

(c) A = {x : x^{2} − 1 = 0} e B = {1, −1};

(d) A = {x : x è un numero reale e x^{2} + 1 = 0} e B = ∅.

2. Dimostrare le seguenti affermazioni:

(a) A ⊂ ∅ ⇔ A = ∅;

(b) A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

3. Mostrare che i seguenti insiemi sono a due a due differenti:

∅, {∅}, {∅, {∅}}.

4. Dati A = {a, b, c, d} e B = {e, b, f, d}, determinare A ∩ B, A ∪ B, A \ B e B \ A.

5. Denotato con P(A) l’insieme delle parti di un insieme A, descrivere esplicitamente

(a) P({x}) per ogni singleton {x}, P({x, y}) e P({x, y, z});

(b) P(∅), P(P(∅)) e P(P(P(∅))).

6. Sia A := P(P(P(∅))). Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere:

(a) ∅ ⊂ A;

(b) ∅ ∈ A;

(c) {∅} ⊂ A;

(d) {{∅}} ⊂ A;

(e) {∅, {∅}} ∈ A;

(f) {{{∅}}} ⊂ A.

7. Dire per quali insiemi S ∈ {ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ} le seguenti affermazioni sono vere:

(a) {x ∈ S : x^{2} = 5} ≠ ∅;

(b) \{x ∈ S : |x − 1| < \frac{1}{2}\} = \{1\};

(c) {x ∈ S : x^{2} = −1} = ∅.

8. Specificare a parole e poi scrivere in forma tabulare i seguenti insiemi: (a) A = {x : x^{2} = 4};

(b) B = {x : x − 2 = 5};

(c) C = {x : x è positivo e x è negativo };

(d) D = {x : x è una lettera nella parola corretto }.

9. Quali tra i seguenti insiemi sono l’insieme vuoto?

(a) A = {x : x è una lettera che appare prima della lettera a nell’alfabeto};

(b) B = {x : x^{2} = 9 e 2x = 4};

(c) C = {x : x ≠ x};

(d) D = {x : x + 8 = 8}.

10. Come si dimostra che un insieme A non è sottoinsieme di un insieme B? Si provi che A = {2, 3, 4, 5} non è un sottoinsieme di B = {x : x è pari}.

11. Siano A, B due insiemi, sottoinsiemi di uno stesso insieme universo U; denotiamo con X′ = U \ X il complementare dell’insieme X in U. Dimostrare che:

(a) B \ A ⊂ A′;

(b) B \ A′ = B ∩ A.

12. Dati comunque tre insiemi A, B e C, mostrare la validità delle seguenti proprietà:

(a) A ∪ A = A; A ∩ A = A;

(b) A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅;

(c) A ∪ B = ∅ ⇒ A = ∅ e B = ∅;

(d) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A;

(e) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (le operazioni di intersezione e unione sono associative);

(f) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributività dell’intersezione rispetto all’unione);

(g) A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (distributività dell’unione rispetto all’intersezione)