LOGICA MATEMATICA

Claudia Malvenuto Canale E-O Scheda esercizi n. 5

2 novembre 2005

Tabelle, penne e macchine, tutto a moltiplicare, carezza per carezza, abbraccio per vulcano. [...] (La voce a te dovuta, Pedro Salinas)

1. Scrivere la tabella additiva e moltiplicativa di ℤ/4ℤ, l’insieme delle classi resto modulo 4; verificare che esistono elementi \overline{a} ≠ \overline{0}, \overline{b} ≠ \overline{0} tali che \overline{ab} = \overline{0}. Esistono elementi invertibili in ℤ/4ℤ? se sì, quali?

2. Si dica se le corrispondenze individuate dai seguenti insiemi sono applica-

zioni di ℝ in ℝ:

{(x, y) ∈ ℝ^{2} : y = 5}
{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = 3}
{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} = 1}
{(x, y) ∈ ℝ^{2} : y = sin x}
{(y, x) ∈ ℝ^{2} : y = sin x}

3. Dire se le seguenti assegnazioni definiscono delle applicazioni:

(a) f : ℤ^{2} → ℤ tale che f(x, y) = x se x è pari, f(x, y) = y se x è dispari;

(b) f : ℤ^{2} → ℤ tale che f(x, y) = x se x è pari, f(x, y) = y se y è dispari;

(c) f : ℤ → ℕ tale che f(n) = n − 5;

(d) f : ℚ → ℚ tale che f(\frac{p}{q}) = \frac{p+q}{2} ;

(e) f : ℚ → ℚ tale che f(\frac{p}{q}) = 3\frac{p}{q};

(f) f : ℚ → ℤ tale che f(\frac{p}{q}) = p − q;

(g) f : ℕ → ℕ tale che f(n) = 0 se n è primo, f(n) = 1 se n è pari;

(h) f : ℕ → ℤ tale che f(n) = 3n se n è multiplo di 2, f(n) = −3n se n è multiplo di 3;

(i) f : ℕ → P(ℕ) tale che f(n) = {k ∈ ℕ : k|n}.

4. Sia f : {1, …, n} → {1, …, m} un’applicazione. Si provi che se n > m allora f non è iniettiva, se n < m allora f non è suriettiva.

5. Stabilire se le seguenti applicazioni sono iniettive e/o suriettive. (ℝ_{+} denota l’insieme dei numeri reali non negativi.)

(a) f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{3}

(b) f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{2n+1}, n ∈ ℕ

(c) f : ℝ_{+} → ℝ, f(x) = \sqrt{x}

(d) f : ℤ → ℤ, f(x) = sin(\frac{π}{2} x)

(Qui si determinino anche l’insieme immagine f(ℤ), e f(ℤ \ {0}).

(e) f : ℕ → {m ∈ ℕ : m è pari}, f(n) = 2n

(f) f : ℤ → ℤ, f(x) = 3 − 2x;

(g) f : ℚ → ℚ, f(x) = 3 − 2x;

(h) f : ℤ^{2} → ℤ^{2}, f(x, y) = (3x − y, 3x + y);

(i) f : ℚ^{2} → ℚ^{2}, f(x, y) = (3x − y, 3x + y);

(j) f : ℕ × ℕ → ℤ × ℤ, f(n, m) = (n + 1, m − 5);

(k) f : ℕ → ℤ × ℤ, f(n) = (n + 1, n − 5).

6. Data la funzione f : ℕ → ℤ definita da:

f(n) = \{ \begin{matrix}3n & se n è pari \\ n − 1 & se n è dispari , \end{matrix}

determinare f^{−1}(0), f^{−1}(1) e f(ℕ).

7. Data la funzione f : ℤ → ℕ definita da:

f(n) = \{ \begin{matrix}−3n & se n è negativo \\ n + 2 & se n è positivo , \end{matrix}

determinare f^{−1}(0) e dire se f è suriettiva.

8. Data la funzione f : ℚ^{2} → ℚ definita da:

f(x, y) = \{ \begin{matrix}x & se x ≥ 1 \\ x − y & se x < 1, \end{matrix}

determinare f(0, −3), f^{−1}(0), f(A) dove A = {(z, z) : z ∈ ℚ}. Dire se esiste un elemento (a, b) ∈ ℚ^{2} con b > 0 tale che f(a, b) = f(\frac{2}{7}, −1).

9. Data la funzione f : ℕ → ℤ definita da:

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{n}{2} & se n è pari \\ −\frac{n+1}{2} & se n è dispari, \end{matrix}

determinare f^{−1}(5), f^{−1}(−5), f^{−1}({−5, 5}). Determinare f(ℕ) e f(2ℕ) (si ricordi che kℕ indica l’insieme {kn : n ∈ ℕ}).

10. Siano f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x, g(x) = x^{2}. Calcolare, se esistono, f^{−1}, g^{−1}. Calcolare poi f ∘ g, g ∘ f.

11. Dire se le seguenti funzioni sono invertibili e, se sì, determinare l’inversa:

(a) f : ℚ → ℚ, f(x) = (3x − 7)/2;

(b) f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{3};

(c) f : ℚ^{2} → ℚ^{2}, f(x, y) = (x − y, 2x);

(d) f : ℚ^{2} → ℚ^{2}, f(x, y) = (x − y, 0);

(e) f : {1, 2, 3} → {a, b, c}, f(1) = c, f(2) = a, f(3) = b;

(f) f : {1, 2, 3} → {a, b, c}, f(1) = c, f(2) = c, f(3) = b;

(g) f : ℤ → ℕ,

f(x) = \{ \begin{matrix}2x & se x ≥ 0 \\ −2x − 1 & se x < 0; \end{matrix}

(h) f : ℚ → ℝ, f(x) = \sqrt{2}x.

12. Siano f : A → B, g : B → C due applicazioni. Si provi che se f e g sono iniettive, allora anche g ∘f lo è. Si provi che se f e g sono suriettive, allora anche g ∘ f è suriettiva. Fornire inoltre un esempio in cui g ∘ f è iniettiva (oppure suriettiva) anche se f, g non lo sono entrambe (questo dimostra che le implicazioni precedenti non si invertono).

13. Sia A = {a, b, c} e B = {0, 1}. Quante e quali sono le diverse funzioni tra A e B? Dire anche quali tra quelle elencate sono suriettive, e quali iniettive.

14. Sia A = {a, b, c, d, e} e B = {1, 2, 3}. Quante sono le funzioni f : A → B tali che f(a) = 1? E quante sono quelle tali che f(b) ≠ 2?

15. Sia V = {−2, −1, 0, 1, 2}. Sia g : V → ℝ la funzione definita da g(x) = x^{2} + 1. Trovare l’immagine g(V) di g.

16. Trovare l’immagine di ciascuna delle seguenti funzioni di ℝ in ℝ:

(a) f(x) = x^{3};

(b) g(x) = sin x;

(c) h(x) = x^{2} + 1.

17. Siano f, g e h le funzioni definite da

(a) f(x) = x^{2} dove 0 ≤ x ≤ 1

(b) g(y) = y^{2} dove 2 ≤ y ≤ 8

(c) h(z) = z^{2} dove z ∈ ℝ

Dire se sono diverse oppure no.

18. Una funzione costante può essere iniettiva? E suriettiva?

19. Su quali insiemi A la funzione id_{A} : A → A, x ↦ x è iniettiva? e su quali insiemi è suriettiva?

20. Per una funzione f : A → B suriettiva, qual è l’immagine f(A)?

21. Dato un insieme A e un suo sottoinsieme B, dire se le seguenti applicazioni sono iniettive e/o suriettive:

(a) f : P(A) → P(A), f(S) = S ∩ B;

(b) f : P(A) → P(A), f(S) = S ∪ B;

(c) f : P(A) → P(A), f(S) = SΔB. (Notate che si possono avere situazioni diverse a seconda di come è fatto B: se è l’insieme vuoto, se coincide con A,…)

22. Date le applicazioni f e g descrivere, quando è possibile, le applicazioni f^{2} = f ∘ f, f ∘ g, g ∘ f, f ∘ (g ∘ f) e (f ∘ g) ∘ f e determinare quali sono iniettive e/o suriettive.

(a) f : ℕ → ℕ, f(x) = x^{2}; g : ℕ → ℕ, g(x) = 3x − 2;

(b) f : ℤ → ℤ, f(x) = 3 − 2x; g : ℤ → ℤ, g(x) = 2 − 3x;

(c) f : ℤ → ℤ, f(x) = 3 − 2x; g : ℤ → ℚ, g(x) = 3x/2;

(d) f : ℤ^{2} → ℤ, f(x, y) = 3x − y; g : ℤ → ℤ^{2}, g(x) = (x, 0);

(e) f : ℤ^{2} → ℤ, f(x, y) = 3x − y; g : ℤ → ℚ^{2}, g(x) = (x/2, 0).