LOGICA MATEMATICA

Claudia Malvenuto Canale E-O Scheda esercizi n. 8

20 novembre 2005

Bisogna stancare i numeri. Che contino senza posa, che si ubriachino contando, e che non sappiano più l’ultimo quale sarà: che vita senza termine! [...] (La voce a te dovuta, Pedro Salinas)

1. Trovare una biiezione esplicita tra ℤ×ℤ e ℕ×ℕ per provare che questi due insiemi sono equipotenti.

2. Siano R = {1, 2, 5, 8} e S ={Marco, Laura, Giovanni, Luca}. Esiste una biiezione da R a S?

3. Dati M = {1, 2, 3} e N = {1, 2}, elencare tutte le funzioni da M a N. Questi due insiemi sono equipotenti?

4. Gli intervalli G = [0, 1] e H = [2, 5] sono equipotenti?

5. La sequenza {1, 1/2, 1/3, …, 1/n, …} è numerabile?

6. La sequenza {(1, 1), (4, 8), (9, 27), …, (n^{2}, n^{3}), …} è numerabile? In generale, data una sequenza infinita {a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{n}, …}, esiste una biiezione dai numeri naturali agli elementi della sequenza?

7. Usando il metodo della diagonalizzazione di Cantor, dimostrare che ℚ ∼ ℕ.

8. Dimostrare che la funzione

f : (0, 1) → (a, b) : x ↦ a + (b − a)x

è una biiezione tra i due intervalli aperti (a, b) e (0, 1), trovando esplicitamente la funzione inversa f^{−1}. Si deduca (usando quale proprietà dell’equipotenza ∼?) che tutti gli intervalli aperti sono equipotenti.

9. Dimostrare che la funzione

g : (−1, 1) → ℝ : x ↦ \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}}

è una biiezione tra l’intervallo aperto (−1, 1) e i numeri reali ℝ, trovando esplicitamente la funzione inversa g^{−1} : ℝ → (0, 1).

10. Descrivere un sottoinsieme numerabile dell’intervallo reale (0, 1) (questo dimostra che l’intervallo (0, 1) ha almeno la potenza del numerabile).

11. Descrivere una biiezione esplicita f : (0, 1) → [0, 1) tra l’intervallo reale aperto (0, 1) e l’intervallo chiuso a a sinistra [0, 1), utilizzando un sottoinsieme numerabile A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{n}, …} di (0, 1). (Suggerimento: si costruisca la biiezione f incollando la biezione identità id : (0, 1) \ A → (0, 1) \ A ad una biiezione di A → A ∪ {0}.

12. Dimostrare che l’intervallo della retta reale [0, 1) ha potenza superiore al numerabile (la potenza del continuo). (Suggerimento: si usi la scrittura in base 10: ogni elemento x ∈ [0, 1) si scrive nella forma 0, x_{1}x_{2}x_{3} …, dove x_{i} sono le cifre decimali dopo la virgola di x).

13. Dimostrare che: (a) [0, 1] ∼ (0, 1); (b) [0, 1] ∼ [0, 1); (c) [0, 1] ∼ (0, 1].

14. Dimostrare che ciascuno dei seguenti intervalli, in cui a < b, non è numerabile: (a) [a, b], (2) (a, b), (c) [a, b), (d) (a, b].

15. Usando gli esercizi precedenti, provare che l’insieme dei numeri reali ha la potenza del continuo.