COMBINATORIA

Claudia Malvenuto – Daniele A. Gewurz Scheda di esercizi n. 4

1. Dimostrare che

∑_{(k_{1},...,k_{r})} \binom{n}{k_{1}, …, k_{r}} = r^{n}.

2. Dimostrare che

∑_{(k_{1},...,k_{r})} \binom{n}{k_{1}, …, k_{r}} · (−1)^{k_{2}+k_{4}+k_{6}+...} = \frac{1 − (−1)^{r}}{2} .

3. Quanti diversi anagrammi ammettono le parole che seguono? (Si ricordi che un anagramma di una parola è una parola composta dalle stesse lettere: ad esempio, ATTORE è un anagramma di TEATRO. Qui non si richiede che le parole anagrammate abbiano senso compiuto.)

(a) COMPUTER;

(b) MAMMA;

(c) ABRACADABRA.

4. Giochi

(a) Nel “SuperEnalotto” bisogna pronosticare sei numeri distinti compresi tra 1 e 90. Quante sono le possibili “sestine”?

(b) Nel gioco del bridge, all’inizio di una partita si distribuiscono le 52 carte tra 4 giocatori, 13 carte per uno. Fissati 4 giocatori, in quanti modi diversi è possibile distribuire loro le carte?

(c) Si calcoli quante sono le posizioni possibili dopo quattro mosse (due per giocatore) in una partita di filetto (o “zeri e croci”). (Ognuno dei due giocatori, al suo turno, mette il proprio segno su una delle nove caselle.)

5. Qual è il coefficiente di a^{3}bcd^{2} in (a + b + c + d)^{7}? E in (2a − b + c − 3d)^{7}?