OTTOBRE NOVEMBRE DICEMBRE

N.B Il testo adottato per la prima parte è "Insiemi, numeri, polinomi" [INS],
dunque i riferimenti al libro "Algebretta" [ALG] nel diario delle lezioni sono provvisti
del link alla corrispondente pagina del libro in formato .pdf

1) Martedì  29 settembre (2 ore).
Introduzione al corso, modalità degli esami.
Insiemi, elementi, appartenenza.
Descrizione tabulare o caratteristica di un insieme.
Potete (dovete!) iniziare a risolvere gli esercizi della Scheda n. 1

[INS] Capitolo 1

2) Giovedì  1 ottobre (2 ore).
Nozione di inclusione, uguaglianza tra insiemi, sottoinsiemi propri e impropri.
Potenza (o insieme delle parti) di un insieme. Esercizi dalla Scheda n. 1
Divertitevi con alcuni sillogismi di Lewis Carroll

[INS]Capitolo 1

3) Martedì  6 ottobre (2 ore).
Operazioni sugli insiemi: unione e intersezione.
Unione e intersezione estese a una famiglia di insiemi.
Nozione di coppia, terna, n-upla ordinata.
Prodotto cartesiano. Differenza insiemistica. Insieme complementare.
Svolti alcuni Esercizi dalla Scheda n.1

[INS]Capitolo 1

4) Giovedì  8 ottobre (2 ore).
Corrispondenze tra due insiemi. Il grafico di una corrispondenza.
Corrispondenza complementare (o negata)
e corrispondenza inversa di una data corrispondenza.
Relazioni su un insieme. Proprietà delle relazioni:
riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, totale.
Proprietà delle relazioni (riflessiva, simmetrica, transitiva,
antisimmetrica, totale) viste attraverso il grafico della relazione.
Esercizi 2, 3, 4 dalla Scheda n. 2.

[INS]Capitolo 5

5) Martedì  13 ottobre (2 ore).
Le formule di De Morgan (intersezione e unione di complementari):
svolta la dimostrazione che il complementare dell'intersezione
di due insiemi è uguale all'unione dei complementari.
Esercizio 5 dalla Scheda n.1, 11 dalla Scheda n.2.

[INS]Capitolo 5

6) Giovedì  15 ottobre (2 ore).
Relazioni d'ordine. Relazioni totali o parziali.
Esempi: relazione di divisibilità sui naturali,
ordine lessicografico sulle parole di lunghezza finita,
relazione di inclusione sull'insieme delle parti.
Elementi massimi, minimi, minimali e massimali.
Catene in un insieme parzialmente ordinato.

[INS]Capitolo 11

7) Martedì  20 ottobre (2 ore).
Diagramma di Hasse (o lineare) di un insieme ordinato.
Catene sature, catene massimali. Anticatene.
Catene sature e massimali in un sottoinsieme di un insieme ordinato.
Esercizi 7a), 7f), 11a), 11d) della Scheda n.2.
Esercizi 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10c) dalla Scheda n. 3.

[INS]Capitolo 11

8) Giovedì  22 ottobre (2 ore).
Relazioni di equivalenza. Esempi.
Classi di equivalenza, insieme quoziente modulo una relazione
di equivalenza. Insieme di rappresentanti per il quoziente.
Partizioni insiemistiche.
Teorema fondamentale delle relazioni di equivalenza.
Cominciare gli esercizi della Scheda n. 4

[INS]Capitolo 6.

9) Martedì  27 ottobre (2 ore).
Operazioni su insiemi quoziente: definizioni "ben poste"
(ovvero indipendenti dai rappresentanti).
La congruenza modulo n sugli interi. Esempi.
Operazioni sulle classi resto modulo n: operazioni "ben poste". Teorema di Fermat.
(Per questi argomenti si veda anche il paragrafo 11 di [ALG] (prima parte, seconda parte, terza parte.)
Tabella additiva e moltiplicativa in Z/nZ. Elementi invertibili in Z/nZ.
Esercizi 13 e 16 dalla Scheda 2.
Esercizi 2, 6, 8c, 8d, 10, 13 dalla Scheda 4.

[INS] Capitolo 6, esercizi 4 e 5; capitolo 7.
[ALG]

10) Giovedì  29 ottobre (2ore).
Applicazioni (funzioni): dominio, codominio, immagine di un elemento. Esempi.
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Fare gli esercizi dalla Scheda n. 5

[INS]Capitolo 8. Capitolo 9.

11) Martedì  3 novembre (2 ore).
Controimmagine di un elemento.
Criterio di iniettività e suriettività considerando la controimmagine di un elemento.
Insieme immagine.

[INS]Capitolo 8. Capitolo 9.

12) Giovedì  5 novembre (2 ore).
Composizione di funzioni. Funzioni invertibili.
Calcolo dell'inversa di una funzione biunivoca.
Esercizi sulle funzioni dalla Scheda n. 5

[INS]Capitolo 8. Capitolo 9.

13) Martedì  17 novembre (2 ore).
Definizione assiomatica secondo Peano dei numeri naturali.
Il principio di induzione: prima forma.
Esercizi dalla Scheda n. 6

[INS] Capitolo 2. Capitolo 3.
[ALG] Paragrafo 6 punti 1, 2, 3, 4 e punti 5, 6 (sul principio di induzione).

14) Giovedì 19 novembre (2 ore).
Esercizi sull'induzione (dimostrazione di uguaglianze, disuguaglianze, altre proprietà); definizione ricorsiva di funzioni.
Principio di buon ordinamento.
Il principio di induzione si deduce dal principio del buon ordinamento (e, facoltativamente, viceversa).

15) Martedì 24 novembre (2 ore).
Principio di induzione - seconda forma.
[ALG] Paragrafo 6, punti 6, 7, 8 (seconda forma del princ. di induzione).

16) Giovedì 26 novembre (2 ore).
Teorema di esistenza e unicità di quoziente e resto
nella divisione euclidea: (divisibilità tra gli interi):
Dati n,m interi, m>0, esistono (unici) q,r interi
con n=mq+r ed r positivo o nullo e minore di m (si veda il punto 6.9 di [ALG]).
Massimo comune divisore e proprietà; numeri coprimi (si veda il paragrafo 8 di [ALG] (prima parte e seconda parte))
Esistenza di infiniti primi. Esistenza e unicità della fattorizzazione in primi dei naturali (si veda il paragrafo 9 di [ALG]).
Lemma: m e m+1 sono coprimi.
Esercizi dalla Scheda n. 6

[INS] Capitolo 2. Capitolo 3.
[ALG]

17) Martedì  1 dicembre (2 ore).
Teoria della cardinalità. Definizione di equipotenza.
L'equipotenza è una relazione di equivalenza.
Definizione ricorsiva dei naturali come classi di equipotenza.
Insiemi finiti e infiniti. Insiemi numerabili.
Teorema: Ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile.
Un sottoinsieme di un numerabile o è finito o è numerabile.
I pari sono equipotenti ai naturali. Gli interi relativi sono equipotenti ai naturali.

[INS] Capitolo 12

18) Giovedì  3 dicembre (2 ore).